The Mathematics Of Quantum Mechanics Pdf

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16-Oct-2014
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Transcript of Quantum Mechanics Mathematics

Quantum Mechanics IPeter S. RiseboroughApril 19, 2011Contents1 Principles of Classical Mechanics 91.1 Lagrangian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Exercise 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.2 Solution 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3 The Principle of Least Action . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.4 The Euler-Lagrange Equations . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.5 Generalized Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.6 Exercise 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.7 Solution 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Hamiltonian Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1 The Hamilton Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . 201.2.2 Exercise 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3 Solution 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.4 Time Evolution of a Physical Quantity . . . . . . . . . . . 221.2.5 Poisson Brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3 A Charged Particle in an Electromagnetic Field . . . . . . . . . . 251.3.1 The Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.2 The Lagrangian for a Classical Charged Particle . . . . . 261.3.3 Exercise 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.4 Solution 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.5 The Hamiltonian of a Classical Charged Particle . . . . . 271.3.6 Exercise 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.7 Solution 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Failure of Classical Mechanics 322.1 Semi-Classical Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.1 Exercise 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.2 Solution 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.3 Exercise 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.4 Solution 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513 Principles of Quantum Mechanics 373.1 The Principle of Linear Superposition . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Wave Packets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.1 Exercise 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.2 Solution 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3 Exercise 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.4 Solution 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 Probability, Mean and Deviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.1 Exercise 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.2 Solution 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.3 Exercise 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.4 Solution 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.5 Exercise 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.6 Solution 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 Operators and Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.1 Operator Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.2 Operator Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.3 Operator Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.4 Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.4.5 Exercise 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4.6 Solution 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4.7 Exercise 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.8 Solution 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.9 Exercise 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.10 Solution 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.11 Exercise 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.12 Solution 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.13 Exercise 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.14 Solution 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.15 Exercise 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.16 Solution 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.17 Eigenvalue Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4.18 Exercise 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4.19 Exercise 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4.20 Solution 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.21 Exercise 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4.22 Solution 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4.23 Exercise 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4.24 Solution 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4.25 Adjoint or Hermitean Conjugate Operators . . . . . . . . 803.4.26 Hermitean Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4.27 Exercise 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.28 Exercise 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.29 Solution 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.30 Exercise 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.4.31 Solution 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8823.4.32 Exercise 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.33 Solution 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.34 Eigenvalues and Eigenfunctions of Hermitean Operators . 913.4.35 Exercise 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4.36 Solution 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4.37 Exercise 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.4.38 Solution 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.4.39 Exercise 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.4.40 Solu